Задача 110762

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Неравенства с медианами ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Медианы AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке M , причем AMB=120^o . Докажите, что углы AB'M и BA'M не могут быть оба острыми или оба тупыми.

Решение

Если AA'=BB' , то A'M=AA'/3=BB'/3=BM/2 . Отсюда и из того, что A'MB=60^o , получаем, что BA'M=90^o . Аналогично AB'M=90^o .
Пусть теперь AA'>BB' , X – проекция B на AA' , Y – проекция A на BB' (см. рис.). Тогда MX=MB/2<MA' , MY=MA/2>MB' и, следовательно, BA'M<90^o< AB'M .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
Класс
Класс	8
задача
Номер	85