|
|
 |
Условие
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
Решение
Докажем утверждение индукцией по количеству n сторон многоугольника. База (n = 3) очевидна.
Шаг индукции. Пусть n ≥ 4 и выпуклый n-угольник P разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Согласно задаче 58155 одна из этих диагоналей (d) делит P на треугольник T и (n–1)-угольник P'. Если две равные стороны треугольника T являются сторонами P, то всё доказано.
В противном случае T и P имеют общую сторону, равную d. В многоугольнике P' по предположению индукции найдутся две равные стороны. Если они не равны d, то всё доказано. Если же они равны d, то в P нашлись две стороны, равные d.
