Задача 58155

Тема:    [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.

Решение

Пусть k_i — количество треугольников данного разбиения, у которых ровно i сторон является сторонами многоугольника. Требуется доказать, что k₂2. Число сторон n-угольника равно n, а число треугольников разбиения равно n - 2 (см. задачу 22.24), поэтому 2k₂ + k₁ = n и  k₂ + k₁ + k₀ = n - 2. Вычитая из первого равенства второе, получаем k₂ = k₀ + 22.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	6
Название	Невыпуклые многоугольники
Тема	Невыпуклые многоугольники
задача
Номер	22.025