Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66796
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC точки O и H – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, AB<AC. Прямая, проходящая через середину K отрезка AH и перпендикулярная OK, пересекает сторону AB и касательную к описанной окружности в точке A в точках X и Y соответственно. Докажите, что XOY=AOB.

Решение

Так как OKY=OAY=90, точки K и A лежат на окружности с диаметром OY, т.е. OYX=OAK=BC. Далее, пусть M – середина BC. Тогда KHMO – параллелограмм, т.е. у треугольников AKX и CMH соответствующие стороны перпендикулярны. Следовательно, эти треугольники подобны и KXOK=KXHM=AKCM=OMCM. Значит, прямоугольные треугольники OKX и CMO подобны, и OXK=COM=A. Таким образом, XOY=2C=AOB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .