ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66796
УсловиеВ остроугольном треугольнике ABC точки O и H – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, AB<AC. Прямая, проходящая через середину K отрезка AH и перпендикулярная OK, пересекает сторону AB и касательную к описанной окружности в точке A в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XOY=∠AOB.
РешениеТак как ∠OKY=∠OAY=90∘, точки K и A лежат на окружности с диаметром OY, т.е. ∠OYX=∠OAK=∠B−∠C. Далее, пусть M – середина BC. Тогда KHMO – параллелограмм, т.е. у треугольников AKX и CMH соответствующие стороны перпендикулярны. Следовательно, эти треугольники подобны и KXOK=KXHM=AKCM=OMCM. Значит, прямоугольные треугольники OKX и CMO подобны, и ∠OXK=∠COM=∠A. Таким образом, ∠XOY=2∠C=∠AOB. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке