Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10
|
В комнате находится несколько детей и куча из 2021 конфеты. Каждый из них по очереди подходит к куче, делит количество конфет в ней на количество детей в комнате (включая себя), округляет (если получилось нецелое число), забирает полученное число конфет и покидает комнату. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11
|
По кругу стоят буквы A и B, всего 41 буква. Можно заменять ABA на B и наоборот, а также BAB на A и наоборот.
Верно ли, что из любого начального расположения можно получить такими операциями круг, на котором стоит ровно одна буква?
Выпуклый n-угольник (n > 4) обладает таким свойством: если диагональ отсекает от него треугольник, то этот треугольник равнобедренный. Докажите, что среди любых четырёх сторон этого n-угольника есть хотя бы две равных.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
Пусть D – основание внешней биссектрисы угла B треугольника ABC, в котором AB>BC. Сторона AC касается вписанной и вневписанной окружностей в точках K и K1 соответственно, точки I и I1 – центры этих окружностей. Прямая BK пересекает DI1 в точке X, а BK1 пересекает DI в точке Y. Докажите, что XY⊥AC.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11
|
В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]