Задача 66916

Темы:    [ Изогональное сопряжение ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Прокопенко Д., Куликова А.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$, $CC_1$ и диаметр $AD$ описанной окружности. Прямые $BB_1$ и $DC_1$ пересекаются в точке $E$, а прямые $CC_1$ и $DB_1$ – в точке $F$. Докажите, что $\angle CAE=\angle BAF$.

Решение

Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Тогда прямые $AH$ и $AD$ являются изогоналями относительно угла $B_1AC_1$. По теореме об изогоналях прямые $AE$ и $AF$ также являются изогоналями.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	5 [8-9 кл]