Задача 67087

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Салимова А.

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.

Решение

Заметим, что $O_1O_2$ – серединный перпендикуляр к отрезку $DI$, $\angle IO_1O_2=\angle IAD$, $\angle IO_2O_1=\angle ICD$. Поэтому для центра $O$ окружности $IO_1O_2$ выполнено $\angle OIO_1=90^{\circ}-\angle ICD$. С другой стороны, $\angle O_1IA=90^{\circ}-\angle IDA$ и $$\angle BIO_1=180^{\circ}-\angle IAB-\angle IBA+90^{\circ}-\angle IDA=90^{\circ}+\angle ICD.$$ Следовательно, точки $B$, $I$, $O$ лежат на одной прямой – биссектрисе угла $B$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	2 [8 кл]