Задача 67189

Темы:    [ Модуль числа (прочее) ] [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Доледенок А.В.

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1.$$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

Решение

Преобразуем уравнение к виду $$a+b+c+d=(a+c)(b+d)+1.$$ После замены $x=a+c$ и $y=b+d$ получаем $$x+y=xy+1.$$ Перенесём все слагаемые в одну часть и разложим на множители: $$(x-1)(y-1) = 0.$$ Таким образом, $a+c= 1$ или $b+d = 1$. Пусть $a+c=1$. Сумма двух положительных целых чисел не меньше двух, следовательно, $a\leqslant0$ или $c\leqslant0$. Не умаляя общности, пусть $a\leqslant0$. Тогда $c>0$. Итого $|c|-|a| = c + a = 1$. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	86
Год	2023
класс
Класс	10
задача
Номер	1