Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

   Решение

Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны два пересекающихся луча AС и BD. На этих лучах выбираются точки M и N (соответственно) так, что AM = BN. Найти положение точек M и N, при котором длина отрезка MN минимальна.

Решение

Проведём через точку M прямую, параллельную BN, и возьмём на ней такую точку Р, что BP || MN. Так как BPMN — параллелограмм, и MA, по условию, равно BN, то мы получаем: AM = MP, т. е. треугольник AMP — равнобедренный. Обозначим через угол между данными лучами (и, значит, между прямыми AM и MP). В таком случае

Мы видим, что MAP не зависит от положения точки M на луче AO. Это значит, что точка P всегда лежит на некоторой вполне определённой прямой (составляющей угол = с данным лучом AO). Заметим теперь, что PB = MN, а мы ищем такое положение точки M, что отрезок MN минимален. Это, очевидно, произойдёт в том случае, когда PB AP, что и определяет выбор точки Р, а следовательно, и точки M.

Источники и прецеденты использования