Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.
Решение
Пусть $M$ – середина $AC$, $B_1$ – основание высоты из $B$. Тогда $MA_1=MC_1=MA_2=MC_2=MA$, а прямые $A_1C_2$ и $A_2C_1$ пересекаются в точке $B_1$. Следовательно, серединный перпендикуляр к отрезку $A_2C_1$ совпадает с перпендикуляром из $M$ на $B_1C_1$, который параллелен радиусу $OA$ описанной около треугольника $ABC$ окружности. Поэтому он пересекает перпендикуляр к $AC$ в точке $A$ в такой точке $P$, что $AP=OM=BH/2$. Через эту же точку проходит и серединный перпендикуляр к отрезку $C_1H$, значит, $P$ – центр описанной окружности треугольника $C_1HA_2$. Аналогично, центром описанной окружности треугольника $A_2HC_1$ будет точка $Q$, лежащая на перпендикуляре к $AC$ из $C$, такая, что $CQ=OM$. Поскольку $APQC$ – прямоугольник, $PQ=AC$.
Источники и прецеденты использования
