Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол.

   Решение

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите теорему Чевы (задача 4.48, б)) с помощью группировки масс.

Решение

Пусть прямые AA₁ и CC₁ пересекаются в точке O; AC₁ : C₁B = p и  BA₁ : A₁C = q. Нужно доказать, что прямая BB₁ проходит через точку O тогда и только тогда, когда CB₁ : B₁A = 1 : pq.
Поместим в точки A, B и C массы 1, p и pq соответственно. Тогда точка C₁ является центром масс точек A и B, а точка A₁ — центром масс точек B и C. Поэтому центр масс точек A, B и C с данными массами является точкой O пересечения прямых CC₁ и AA₁. С другой стороны, точка O лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C. Если B₁ — центр масс точек A и C с массами 1 и pq, то AB₁ : B₁C = pq : 1. Остается заметить, что на отрезке AC существует единственная точка, делящая его в данном отношении AB₁ : B₁C.

Источники и прецеденты использования