В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

   Решение

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Скупой рыцарь хранит золотые монеты в 77 сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну по этим двум сундукам. Потом он заметил, что если открыть любые 3, или любые 4, ..., или любые 76 сундуков, то тоже можно так переложить лежащие в них монеты, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга не успел проверить, можно ли разложить все монеты поровну по всем 77 сундукам. Можно ли, не заглядывая в сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?

Решение

  Разделим сундуки на 11 групп по 7 сундуков в каждой. Общее количество монет в каждой группе сундуков должно делиться на 7, значит, на 7 делится и общее число монет во всех 77 сундуках.
  Разделим сундуки на 7 групп по 11 сундуков. Теперь число монет в каждой группе делится на 11, значит, общее число монет делится на 11.
  Итак, общее число монет делится на простые числа 7 и 11, а значит, делится и на их произведение 77. Следовательно, все монеты можно разложить поровну по 77 сундукам.

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования