Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  a + b + ... + k = s + t + ... + z  и  ¹/_a + ¹/_b + ... + ¹/_k = ¹/_s + ¹/_t + ... + ¹/_z.
Доказать, что  m = n.

   Решение

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8 Название задачи: Летучая ладья.

Прислать комментарий

Условие

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

Решение 1

На рисунке поля доски пронумерованы в нужном порядке.

Решение 2

Заметим, что если бы ладья была "хромой", то есть могла бы ходить только на соседнее поле, то требовалось бы нарисовать на доске 4×4 замкнутый маршрут, что несложно. Теперь переставим горизонтали доски в порядке 2 – 4 – 1 – 3, затем так же переставим вертикали, и маршрут хромой ладьи превратится в маршрут летучей.

Ответ

Может.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования