Информация о задаче

Задача 54833

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике KMN проведены высота NA, биссектриса NB и медиана NC, которые делят угол KNM на четыре равные части. Найдите длины высоты NA, биссектрисы NB и медианы NC, если радиус описанной около треугольника KMN окружности равен R.

Подсказка

Докажите, что треугольник KMN — прямоугольный. Для этого продолжие NA, NB и NC до пересечения с описанной окружностью треугольника KMN.

Решение

Пусть лучи NA, NB и NC пересекают описанную окружность треугольника KMN в точках Q, P и S соответственно. Обозначим

$\displaystyle \angle$ KNQ = $\displaystyle \angle$ QNP = $\displaystyle \angle$ PNS = $\displaystyle \angle$ MNS = $\displaystyle \alpha$ .

Из равенства дуг KQ и MS, не содержащих точку N, следует параллельность хорд QS и KM, поэтому

$\displaystyle \angle$ NQS = $\displaystyle \angle$ NAM = 90^o.

Поскольку P — середина дуги KQM, то PC — серединный перпендикуляр к стороне KM треугольника KMN, а т.к. P — середина дуги QS, то PC -- серединный пeрпендикуляр к стороне QS прямоугольного треугольника NQS. Значит, C — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника NQS. Таким образом, центр описанной окружности треугольника KNM лежит на стороне KM, поэтому треугольник KNM прямоугольный, а KM = 2R — его гипотенуза.

Из уравнения 4 $\alpha$ = 90^o находим, что $\alpha$ = 22, 5^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ NKM = 90^o - $\displaystyle \alpha$ = 67, 5^o, $\displaystyle \angle$ KMN = $\displaystyle \alpha$ = 22, 5^o,

NC = R, KN = KM sin $\displaystyle \angle$ KNN = 2R^.sin $\displaystyle \alpha$ ,

NA = KN cos $\displaystyle \angle$ ANK = 2R sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \alpha$ = R sin 2 $\displaystyle \alpha$ = R sin 45^o = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{2}}{2}}$ ,

NB = $\displaystyle {\frac{NA}{\cos \angle ANB}}$ = $\displaystyle {\frac{NA}{\cos \alpha}}$ = R $\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2}}$ .

Ответ

${\frac{R\sqrt{2}}{2}}$ , R $\sqrt{2-\sqrt{2}}$ , R.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2779