В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.

   Решение

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема косинусов ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

Решение

  Длина общей касательной к данным окружностям равна    поэтому     то есть     Согласно задаче 57619 б)  
  Поэтому существует угол γ₁, для которого  
  Мы проверили, что треугольник со сторонами a₁, b₁, c₁ действительно существует; кроме того, угол между сторонами a₁ и b₁ равен γ₁. Диаметр описанной окружности этого треугольника равен     поскольку   c = p – r ctg ^γ/₂.

Источники и прецеденты использования