В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA₁ и BB₁, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A₁A₂ треугольника OBA₁ и высоту B₁B₂ треугольника OAB₁. Докажите, что отрезок A₂B₂ параллелен стороне AB.

   Решение

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. В треугольнике AOB проведены высоты AA₁ и BB₁, а в треугольнике COD — высоты CC₁ и DD₁. Докажите, что точки  A₁, B₁, C₁ и D₁ лежат на одной прямой.

   Решение

В тетраэдре ABCD проведены медианы AM и DN граней ACD и ADB . На этих медианах взяты соответственно точки E и F , причём EF || BC . Найдите отношение EF:BC .

   Решение

Темы:    [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

  а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?

  б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

Решение

  а) Имеется  8³ = 512  трёхзначных чисел, не содержащих 1 и 0. Это уже больше половины чисел первой тысячи.
  б) Подсчитаем количество чисел, в записи которых нет единицы. На первом месте может стоять любая из восьми цифр (не 0 и не 1), на каждом из остальных – любая из девяти цифр, отличных от 1. Всего получаем 8·9⁶ чисел, что составляет меньше половины от количества 9·10⁶ всех семизначных чисел (см. задачу 60336).

Ответ

Больше чисел, в записи которых   а) нет единицы;   б) есть единица.

Источники и прецеденты использования