Версия для печати
Убрать все задачи

---

На столе лежат в ряд пять монет: средняя  — вверх орлом, а остальные  — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?

   Решение

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.

Решение

Пусть развёртка тетраэдра ABCD на плоскость грани ABC состоит из треугольников ABC , D1BC , D2AC и D3AB . Обозначим BAC = α , ABC=β , ACB=γ . Поскольку противоположные рёбра равногранного тетраэдра попарно равны, в равных треугольниках ABC и D1CB равны углы ACB и CBD1 . Значит, CBD1 = ACB = γ . Аналогично, ABD3 = BAC = α . Следовательно,

D1BD3 = CBD1 + CBA + ABD3 = γ + β + α = 180^o.
Поэтому точка B лежит на отрезке D1D3 (причём B – середина D1D3 ). Аналогично докажем, что точка C лежит на отрезке D1D2 , а точка A – на отрезке D2D3 . Следовательно, развёртка тетраэдра ABCD на плоскость грани ABC есть треугольник D1D2D3 .

Источники и прецеденты использования