Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что AK + LC = KL. Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.
Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом n < 1000). Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
|
|
 |
Условие
Квадрат разбит прямыми на 25 квадратиков-клеток. В некоторых клетках нарисована одна из диагоналей так, что никакие две диагонали не имеют общей точки (даже общего конца). Каково наибольшее возможное число нарисованных диагоналей?
Решение
Пример с 16 диагоналями см. на рисунке.
Первый способ. Каждая диагональ имеет два конца, расположенных в узлах квадратной сетки. Всего таких узлов в квадрате 36. 12 из них расположены на границе внутреннего квадрата 3×3 (рис. слева), поэтому диагоналей с концами в этих узлах проведено не больше 12. Оставшиеся пять диагоналей могут располагаться только в центральной и четырёх угловых клетках. Значит, четыре узла, расположенные в вершинах квадрата, не являются концами проведённых диагоналей, то есть 17 диагоналей имеют не более 36 – 4 = 32 концов. Противоречие.
Второй способ. В каждом прямоугольнике 5×2 проведено не больше 6 диагоналей: на его средней линии всего шесть узлов, а каждая диагональ имеет один из них своим концом. Значит, во всех горизонталях квадрата, кроме средней, проведено в сумме не более 12 диагоналей. Поэтому в средней горизонтали их не меньше, чем 17 – 12 = 5, то есть в каждой её клетке проведена диагональ.
Аналогично доказывается, что диагонали проведены во всех клетках средней вертикали. Но диагонали, проведённые в соседних (имеющих общую сторону) клетках, параллельны. Значит, весь "центральный крест" заполнен параллельными диагоналями. Но тогда диагонали в двух соседних с центром клетках имеют общую точку (см. рис. справа). Противоречие.
Ответ
16 диагоналей.
Замечания
7 баллов
