Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны AB и A₁B₁ лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников A₁BC и AB₁C, содержит точку C₁.

   Решение

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

Подсказка

Правильный шестиугольник - это пересечение двух правильных треугольников; используйте, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри правильного треугольника, до его сторон, постоянна.

Решение

Будем для краткости под сторонами шестиугольника подразумевать прямые, содержащие эти стороны. Пусть O - данная точка, а O' - ее образ при повортое на 60^o относительно центра шестиугольника. Расстояния от O до синих сторон соответственно равны расстояниям от O' до красных сторон. Но красные стороны образуют правильный треугольник, поэтому теперь утверждение задачи следует из хорошо известного факта о том, что сумма расстояний от точки внутри правильного треугольника до его сторон не зависит от выбора точки.

Источники и прецеденты использования