Задача 56590

Тема:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны AB и A₁B₁ лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников A₁BC и AB₁C, содержит точку C₁.

Решение

Пусть D — вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников A₁BC и AB₁C. Тогда  (AC, CD) = (AB₁, B₁D) и  (DC, CB) = (DA₁, A₁B). Поэтому  (A₁C₁, C₁B₁) = (AC, CB) = (AC, CD) + (DC, CB) = (AB₁, B₁D) + (DA₁, A₁B) = (A₁D, DB₁), т. е. точки  A₁, B₁, C₁ и D лежат на одной окружности. Следовательно,  (A₁C₁, C₁D) = (A₁B₁, B₁D) = (AC, CD). Учитывая, что  A₁C₁ || AC, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	5
Название	Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема	Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер	02.047