Докажите, что:
а) (a) b = (a b);
б) a (b + c) = a b + a c.

   Решение

Военный полигон имеет форму N-угольника и обнесен по границе забором. Военные изобрели атомную бомбу очередного поколения и намереваются провести испытания этого нового вида оружия. Узнав о планах «зеленых» помешать испытаниям, главнокомандующий приказал установить сверхсовременный пеленгатор, обнаруживающий посторонних в радиусе его действия.

У военных есть вполне естественное желание взорвать как можно более мощную атомную бомбу. При этом заместитель командира части по тылу настаивает, что забор полигона должен остаться целым. Тот же самый рачительный зам. по тылу хочет сэкономить как можно больше денег на электроэнергии, установив пеленгатор минимального радиуса действия, контролирующий весь полигон. Чтобы его не украли «зеленые», пеленгатор нужно установить на территории полигона. Напишите программу, определяющую минимальный радиус действия и точку установки пеленгатора, а также максимальный радиус поражения бомбы и точку ее взрыва.

Входные данные
Входной файл содержит вещественные координаты вершин N-угольника (1 ≤ N ≤ 50), записанные в порядке обхода по (или против) часовой стрелки.

Выходные данные
Запишите в выходной файл искомые координаты и радиусы действия в соответствии с форматом, приведенным в примере.

Пример входного файла
0 0
10 0
10 10
0 10

Пример выходного файла
Установить пеленгатор в точке (5, 5) радиусом действия 7.0710678
Взорвать бомбу в точке (5, 5) радиусом действия 5.0000000

   Решение

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Решение

  Из условия следует, что наш многочлен P(x) имеет ненулевую степень. Можно считать старший коэффициент P положительным (иначе сменим знак многочлена). Если P имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по модулю x он возрастает, и, следовательно, только конечное число значений может принимать более чем в одной целой точке. Поэтому степень P чётна.
  Значит, при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x – убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды. Упорядочим эти значения:  a₁ < a₂ < ...  и обозначим x_k – больший, а y_k – меньший прообраз a_k. Таким образом,  P(x_k) = P(y_k) = a_k.
  Рассмотрим два старших коэффициента P:  P(x) = axⁿ + bx^n–1 + ... .  Тогда
P(c – x) = a(c – x)ⁿ + b(c – x)^n–1 + ... = axⁿ – ancx^n–1 – bx^n–1 + ... = axⁿ + (– anc – b)x^n–1 + ... .  Заметим, что коэффициенты при xⁿ у многочленов P(x) и
P(c – x)  совпадают; а для коэффициентов при x^n–1 существует единственное значение c:  c₀ = – ^2b/_an,  при котором они совпадают.
  Если  c > c₀,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны. Поэтому при достаточно больших k  x_k + y_k < c₀ + 0,1  (иначе  P(x_k) > P(c₀ + 0,1 – x_k) > P(y_k)).
  Если, наоборот,  c < c₀,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны. Поэтому при достаточно больших k  x_k + y_k > c₀ – 0,1.  Но  x_k + y_k  – целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны:  x_k + y_k = c,  где c – целое.
  Но тогда многочлены P(x) и  P(c – x)  совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак  P(x) – P(c – x)  совпадает со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди x_k есть сколь угодно большие числа, и для них  P(c – x_k) = P(y_k) = P(x_k)).
  Итак,  P(x) = P(c – x)  при всех действительных x (то есть график  y = P(x)  имеет вертикальную ось симметрии  x = ^c/₂).  Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке, – это  P(^c/₂),  да и то, если только  ^c/₂  – целое.

Источники и прецеденты использования