Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO₁ = OO₂.

Решение

  Проведём серединные перпендикуляры к отрезкам АВ, АС и AL, тогда вершинами треугольника ОO₁O₂ являются точки их попарного пересечения (см. рис.).
  ∠ОO₁O₂ = ∠BAL  как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Аналогично  ∠ОO₂O₁ = ∠СAL = ∠BAL = ∠ОO₁O₂,  значит,
ОO₁ = ОO₂.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования