Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.

   Решение

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

Решение

  Если  2n + 1 = k²,  3n + 1 = m²,  то  5n + 3 = 4(2n + 1) – (3n + 1) = 4k² – m² = (2k + m)(2k – m).
  Докажем, что  2k – m ≠ 1.  Действительно, в противном случае  5n + 3 = 2m + 1  и   (m – 1)² = m² – (2m + 1) + 2 = (3n + 1) – (5n + 3) + 2 = – 2n < 0,  что невозможно).

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования