Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если её центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен a.

Подсказка

Выразите через искомый радиус расстояние от центра окружности до вершин острых углов данного треугольника.

Решение

Пусть данная окружность имеет центр O на гипотенузе AB, касается катета BC в точке K и проходит через вершину A. Обозначим через x радиус этой окружности. Тогда в треугольнике OKB известно, что

Поэтому a - x = x. Отсюда находим, что x = a(2 - ).

Ответ

a(2 - ).

Источники и прецеденты использования