Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется резинка и стеклянные шарики-бусины: четыре одинаковых красных, две одинаковых синих и две одинаковых зелёных. Нужно все восемь бусин нанизать на резинку последовательно, чтобы получился браслет. Сколько различных браслетов можно составить так, чтобы бусины одного цвета не оказались рядом? (Считайте, что застёжки нет, а узелок на резинке незаметен.)

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана окружность и точка A внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

Решение

  Пусть O центр данной окружности, R – её радиус. Обозначим,  OA = a.  Поскольку  OB = OD = R  и  OA² + OC² = OB² + OD²  (см. задачу 54405),  то
OC² = OB² + OD² – OA² = 2R² – a².
  Значит, точка C лежит на окружности (обозначим её Ω) с центром O и радиусом   .

  Обратно, пусть C' – произвольная точка окружности Ω. На отрезке AC' как на диаметре построим окружность. Она пересекает данную окружность в двух точках. Пусть B – любая из них. Рассмотрим прямоугольник ABCD, о котором говорится в условии задачи, лежащий по ту же сторону от AB, что и точка C'. По ранее доказанному точка C лежит на окружности Ω, а так как  CB ⊥ AB  и  C'B ⊥ AB,  то точки C и C' совпадают.

Ответ

Окружность с центром О и радиусом    (R – радиус, О – центр данной окружности,  a = OA).

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования