Когда в Братске полдень – в Гусеве 6 часов утра, а в Комсомольске-на-Амуре 14 часов. А когда в Златоусте полдень – в Елизово 18 часов, а в Гусеве 9 часов утра. Который час в Комсомольске-на-Амуре, когда в Елизово полдень?

   Решение

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x²ⁿ ± x^2n–1 + x^2n–2 ± x^2n–3 + ... + x⁴ ± x³ + x² ± x + 1 > ½  (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

   Решение

Темы:    [ Треугольники (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

В треугольниках АВС и A₁B₁C₁:  ∠А = ∠А₁,  равны высоты, проведённые из вершин В и В₁, а также равны медианы, проведённые из вершин С и С₁. Обязательно ли эти треугольники равны?

Решение

  Приведём пример двух неравных треугольников, для которых выполняются все равенства из условия задачи.
  На одной из сторон острого угла A отложим произвольный отрезок AB (см. рис.). Из середины K отрезка AB опустим перпендикуляр KH на другую сторону угла. Отметим на этой стороне угла точки C и C₁ так, чтобы  HC = HC₁.  Тогда в треугольнике CKC₁ совпадают высота и медиана, поэтому он – равнобедренный  (KC = KC₁).
  Таким образом, в треугольниках ABC и ABC₁ угол A – общий, высота, проведённая из вершины B – общая, и равны медианы CK и C₁K, проведённые из вершин C и C₁.

Ответ

Не обязательно.

Источники и прецеденты использования