Задача 79435

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10

Условие

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x²ⁿ ± x^2n–1 + x^2n–2 ± x^2n–3 + ... + x⁴ ± x³ + x² ± x + 1 > ½  (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

Решение

Достаточно доказать, что     для любого положительного x. Если  x ≥ 1,  то, очевидно, левая часть не меньше 1; если же  x < 1,  то знаменатель не превосходит 2, и дробь больше ½.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	9
задача
Номер	1