В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

   Решение

Найдите все простые числа p и q, для которых выполняется равенство  p² – 2q² = 1.

   Решение

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.

Решение

Pассмотрим данный уголок ABCDEF и описанный вокруг него прямоугольник KLMN (см. рис.). Проведём перпендикуляры XP, YQ, CR и ZT к сторонам прямоугольника. Прямоугольные треугольники ALB, BPX, CRD, DME, NTZ и ETZ равны по гипотенузе и острому углу, следовательно,
BP = DM = NT = TE  и  BL = RD = EM.  По теореме Фалеса  BP = PQ = QR.  Cледовательно,  NM = 2DM + ME,  а  ML = 4DM + 2ME,  откуда
NM : ML = 1 : 2.

Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования