Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:

1) съедает какую-то котлету вместе со всеми сидящими на ней мухами;

2) пересаживает одну муху с одной котлеты на другую (на котлете может быть сколько угодно мух).

Шарик хочет съесть не более миллиона мух. Докажите, что он не может действовать так, чтобы каждая котлета была съедена на каком-то ходу.

   Решение

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Площадь трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть окружность с центром O и радиусом r, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC и прямыми углами при вершинах A и B, касается оснований AD и BC в точках K и L соответственно, а большей боковой стороны CD – в точке M. При этом CM = 1, DM = 4.

Поскольку CO и DO – биссектрисы углов BCD и ADC, сумма которых равна 180°, угол COD – прямой, поэтому OM – высота прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,

Тогда

а т.к. точки K, O и L лежат на прямой, перпендикулярной основаниям трапеции, то KL – высота трапеции, KL = 2r = 4. Следовательно,

Ответ

18.

Источники и прецеденты использования