На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

   Решение

а) В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних углов AA₁, BB₁ и CC₁ (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁ и биссектриса внешнего угла CC₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Произведение пяти различных целых чисел равно 2022. Чему может равняться их сумма? Если ответов несколько — укажите их все.

Решение

Разложим 2022 на простые множители: 2022 = 2 · 3 · 337, значит, из пяти перемноженных чисел только три могут быть по модулю больше, чем 1. Остальные по модулю обязаны быть равны 1; таких чисел ровно два (1 и −1), следовательно, 2022 получено как (−1) · 1 · (±2) · (±3) · (±337). Остаётся заметить, что знак «−» должен стоять либо перед одним из чисел 2, 3, 337, либо перед всеми тремя — итого 4 варианта и, соответственно, 4 возможных суммы: 338, 336, −332, −342.

Ответ

338, 336, −332, −342.

Источники и прецеденты использования