На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Высота трапеции ABCD равна 5, а основания BC и AD соответственно равны 3 и 5. Точка E находится на стороне BC, причём  BE = 2,  F – середина стороны CD, а M – точка пересечения отрезков AE и BF. Найдите площадь четырёхугольника AMFD.

Подсказка

Пусть прямая BF пересекает продолжение основания AD в точке N. Тогда  S_AMFD = S_AMN – S_FDN.

Решение

Пусть прямая BF пересекает продолжение основания AD в точке N. Из равенства треугольников BCF и NDF следует, что  DN = BC = 3.  Треугольники AMN и EMB подобны с коэффициентом  AN : BE = 4,  поэтому высота MP треугольника AMN в 4 раза больше высоты MQ треугольника BME, а так как
MQ + ME = PQ = 5,  то  MP = ⅘ PQ = 4.  Поскольку  FN = BF,  то высота FG треугольника FDN вдвое меньше высоты BH треугольника ABN, то есть
FG = ⁵/₂.  Следовательно,  S_AMFD = S_AMN – S_FDN = ½ AN·MP – ½ DN·FG = ½·8·4 – ½·3·⁵/₂ = ⁴⁹/₄.

Ответ

12¼.

Источники и прецеденты использования