Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

   Решение

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

На каждом из двух рукавов реки за километр до их слияния стоит по пристани, а ещё одна пристань стоит в 2 километрах после слияния (см. рисунок).

Лодка добралась от одной из пристаней до другой (неизвестно, какой) за 30 минут, от другой до третьей за 18 минут. За сколько минут она может добраться от третьей пристани до первой? (Скорость течения реки постоянна и одинакова во всех её частях. Собственная скорость лодки также постоянна.)

Решение

  Обозначим пристани в порядке посещения A, B и C.
  Пристань B не могла стоять после слияния. Действительно, иначе лодка шла бы к ней 3 км по течению, а от неё – те же 3 км, но против течения. Но по условию время первой части пути больше, чем время второй.
  Пусть после слияния стоит пристань A. Тогда 1 км против течения лодка проходит за  30 : 3 = 10  минут, а 1 км по течению – за  18 – 10 = 8  минут. Соответственно, путь из C в A (3 км по течению) занимает  3·8 = 24  минуты.
   Наконец, пусть после слияния стоит пристань C. В этом случае 1 км по течению лодка проходит за  18 : 3 = 6  минут, а 1 км против течения – за
30 – 6 = 24  минуты. Соответственно, путь из C в A (3 км против течения) занимает  3·24 = 72  минуты.

Ответ

Либо за 24, либо за 72 минуты.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования