Задача 56730

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

Решение

Пусть A_i — точка касания окружностей S_i и S_{i + 1}, X — точка пересечения прямых A₁A₄ и A₂A₃. Тогда X — точка пересечения общих внешних касательных к окружностям S₂ и S₄ (см. задачу 5.60). А так как четырехугольник  A₁A₂A₃A₄ вписанный (задача 3.22), то  XA₁ ^. XA₄ = XA₂ ^. XA₃, а значит, точка X лежит на радикальной оси окружностей S₁ и S₃.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.067