Параллелограмм $ABCD$ разделён диагональю $BD$ на два равных треугольника. В треугольник $ABD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на $AB$ и $AD$, а одна из вершин – на $BD$. В треугольник $CBD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на $CB$ и $CD$, а одна из сторон – на $BD$. Какой из шестиугольников больше?

   Решение

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.

   Решение

Темы:    [ Ориентированные графы ] [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 3+ Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Какие-то две команды набрали в круговом волейбольном турнире одинаковое число очков.
Докажите, что найдутся такие команды А, В и С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С выиграла у А.

Решение

Пусть А и В набрали одинаковое количество очков, причём A выиграла у B. Если для каждой команды С, у которой выиграла B, выиграла и A, то у A должно быть очков больше, чем у B. Следовательно, есть такая команда С, что B выиграла у С, а С выиграла у A.

Источники и прецеденты использования