В вершинах n-угольника стоят числа 1 и –1. На каждой стороне написано произведение чисел на её концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что   a) n чётно;   б) n делится на 4.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ] [ Сфера, описанная около призмы ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В сферу радиуса    вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение

  Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед – прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной вершины, через a, b и c. Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, а объём равен abc. Из условия задачи следует, что   a² + b² + c² = 12,  abc = 8.
  Согласно неравенству Коши     Поскольку равенство достигается, только когда  a² = b² = c²,  то
a = b = c = 2.  Следовательно, площадь поверхности равна  6a² = 24.

Ответ

24.

Источники и прецеденты использования