Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?
Решение
|
|
 |
Условие
На каждой клетке доски размером 9×9 сидит жук, По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми.
Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше 9.
Подсказка
Покрасьте вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. Тогда с чёрной клетки жук переползает на белую, а с белой – на чёрную.
Решение
Покрасим вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. В результате в чёрный цвет будет покрашено 5×9 = 45 клеток (5 вертикалей), а в белый – только 36. Заметим, что с чёрной клетки жук может переползти только на белую, а белой – только на чёрную. Следовательно, после того, как жуки переползли в соседние по диагонали клетки, на 45 чёрных клетках оказалось 36 жуков. Значит, по крайней мере 9 чёрных клеток оказались незанятыми.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
