24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Например,  52 = 4³ + (−3)³ + 2³ + 2³ + (−1)³.

Подсказка

Докажите, что каждое число, кратное 6, можно представить в таком виде.

Решение

(n + 1)³ + (n – 1)³ – 2n³ = 6n.  Итак, любое число, кратное 6, представляется в виде суммы четырёх кубов. Добавив 0, получим сумму пяти кубов. Добавляя ± 1, ± 8, 27, представим в виде суммы пяти кубов соответственно все числа, дающие при делении на 6 остатки  ± 1, ± 2, 3.

Источники и прецеденты использования