Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.
Куб n×n×n сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём отмёченными грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.
|
|
 |
Условие
Докажите, что внутри выпуклого многоугольника можно поместить его образ при гомотетии с коэффициентом – ½.
Подсказка
Этот образ можно поместить даже в треугольник наибольшей площади с вершинами в вершинах исходного многоугольника.
Решение
Рассмотрим треугольник ABC наибольшей площади из всех треугольников с вершинами в вершинах исходного многоугольника. Проведя через вершины этого треугольника прямые, параллельные противоположным сторонам, получим «удвоенный» треугольник A'B'C'. Покажем, что весь данный многоугольник содержится целиком внутри треугольника A'B'C'. Действительно, предположим противное – некоторая вершина X многоугольника лежит вне треугольника A'B'C'. Тогда выполняется хотя бы одно из следующих трёх условий:
1) точка X лежит по разные стороны с отрезком BC относительно прямой B'C',
2) точка X лежит по разные стороны с отрезком CA относительно прямой C'A',
3) точка X лежит по разные стороны с отрезком AB относительно прямой A'B'.
Пусть имеет место первая возможность. Тогда SXBC > SABC (основание BC общее, а высота, проведённая к BC, у треугольника XBC больше), что противоречит нашему предположению.
Аналогично разбираются оставшиеся две возможности.
Рассмотрим гомотетию с центром в центре тяжести треугольника ABC и коэффициентом – ½. При выполнении этой гомотетии треугольник A'B'C' перейдёт в треугольник ABC, а образ данного многоугольника окажется внутри треугольника ABС.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
