а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один – по часовой стрелке, другой – против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.
б) А если чижей и деревьев n?

   Решение

Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что  a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.

   Решение

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство:   + ... + ≥ .
Значения переменных считаются положительными.

Подсказка

Рассмотрите функции  f_k(x) = a_kx² – 2b_kx  и примените задачу 61400.

Решение 1

Заметим, что максимум функции вида  f(x) = 2bx – ax²  достигается в точке ^b/_a и равен ^b²/_a. Рассмотрим функции  f_k(x) = 2b_kx – a_kx².  Очевидно, что
max (f₁(x) + ... + f_n(x)) ≤ max f₁(x) + ... + max f_n(x),  что в точности совпадает с доказываемым неравенством.

Решение 2

Это неравенство получается из неравенства Коши – Буняковского (см. задачу 61402) подстановкой  

Источники и прецеденты использования