Информация о задаче

Задача 57178

Тема:

[

Окружность Ферма-Аполлония

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Прямая l пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Решение

Пусть прямая l высекает на данных окружностях дуги A₁B₁ и A₂B₂ величиной 2 $\alpha_{1}^{}$ и 2 $\alpha_{2}^{}$ ; O₁ и O₂ — центры окружностей, R₁ и R₂ — их радиусы. Пусть K — точка пересечения касательных в точках A₁ и A₂. По теореме синусов KA₁ : KA₂ = sin $\alpha_{2}^{}$ : sin $\alpha_{1}^{}$ , т. е. KA₁sin $\alpha_{1}^{}$ = KA₂sin $\alpha_{2}^{}$ . А так как KO₁² = KA₁² + R₁² и KO₂² = KA₂² + R₂², то (sin² $\alpha_{1}^{}$ )KO₁² - (sin² $\alpha_{2}^{}$ )KO₂² = (R₁sin $\alpha_{1}^{}$ )² - (R₂sin $\alpha_{2}^{}$ )² = q. Аналогично доказывается, что и остальные точки пересечения касательных принадлежат геометрическому месту таких точек X, что (sin² $\alpha_{1}^{}$ )XO₁² - (sin² $\alpha_{2}^{}$ )XO₂² = q. Это ГМТ — окружность, центр которой лежит на прямой O₁O₂ (см. замечание к задаче 7.47).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	9
Название	Окружность Ферма-Аполлония
Тема	Окружность Ферма-Аполлония
задача
Номер	07.048