Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03, ..., 99. Затем номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1 (например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 – не может). Какое наибольшее число номерков могло остаться на своих местах?

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Метод координат ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка H на прямой AB . Докажите, что CH — высота треугольника ABC тогда и только тогда, когда AC2-BC2=AH2-BH2 .

Решение

Необходимость.}Пусть CH — высота треугольника ABC (рис.1). Если точка H совпадает с вершинами A или B , то утверждение очевидно. Пусть точка H не совпадает ни с A , ни с B . Тогда по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACH и BCH находим, что

AC2-AH2=CH2, BC2-BH2=CH2,
поэтому AC2-AH2=BC2-BH2 . Следовательно, AC2-BC2=AH2-BH2 .
Достаточность.}
Пусть точка H на прямой AB и AC2-BC2=AH2-BH2 (рис.2). Выберем на плоскости прямоугольную систему координат следующим образом. Начало координат — точка A , ось абсцисс направлена по лучу AB , ось ординат перпендикулярна AB . Выпишем координаты точек: A(0;0) , B(c;0) , C(p;q) , H(x;0) . Тогда
AC2=p2+q2, BC2=(p-c)2+q2, AH2=x2, BH2=(c-x)2.
По условию
p2+q2-(p-c)2-q2=x2-(c-x)2,
откуда x=p , т.е. прямая CH перпендикулярна оси Oy . Следовательно, CH — высота треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования