Прямоугольный лист бумаги размером a×b см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел a или b целое.

   Решение

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

Решение

Проведём через F и E прямые, параллельные AK и пересекающие BC в точках P и Q (см. рис.). По теореме Фалеса  PM = MQ,  значит,
CP = BQ  и    Применив теперь теорему Менелая к треугольнику AFE и прямой CB, получим     что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования