Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

   Решение

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).

Решение

Пусть точка A лежит вне S, тогда A' лежит внутри S и MA'N = ( MN+ M'N')/2 = MN = MON, т. е. четырехугольник MNOA' вписанный. Но при инверсии относительно S прямая MN перейдет в окружность, проходящую через точки M, N, O (задача 28.2). Поэтому точка A^* (образ A при инверсии) лежит на описанной окружности четырехугольника MNOA'. По тем же причинам точки A' и A^* принадлежат и окружности, проходящей через M', N' и O. Но эти две окружности не могут иметь других общих точек, кроме O и A'. Следовательно, A^* = A'.
В случае, когда A лежит внутри S, применим уже доказанное к прямой MN' и точке A' (она находится вне S). Получим, что A = (A')^*. Но тогда A' = A^*.

Источники и прецеденты использования