Информация о задаче

Задача 53540

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть O — центр правильного треугольника ABC, сторона которого равна 10. Точка K делит медиану BM треугольника BOC в отношении 3:1, считая от точки B. Что больше: BO или BK?

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику BOM.

Решение

Пусть D — середина AC. Тогда

BO = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ DCtg60^o = $\displaystyle {\frac{10\sqrt{3}}{3}}$ ,

OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BO = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{3}}$ ,

BM² = BO² + OM² - 2BO^.OM cos 120^o =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{100}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{50}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{175}{3}}$ ,

BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ BM = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{175}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{21}}{4}}$ .

Поскольку ${\frac{10\sqrt{3}}{3}}$ > ${\frac{5\sqrt{21}}{4}}$ , то BO > BK.

Ответ

BO > BK.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1269