Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b + b^a (где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 2⁵ + 5². Является ли изумительным число 2006?

   Решение

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны отрезки a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .

Подсказка

Воспользуйтесь свойством высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.

Решение

Построим на произвольной прямой отрезки AB и BC (B между A и C). На отрезке AC как на диаметре построим окружность. Через точку B проведём прямую, перпендикулярную AC. Пусть D — одна из точек пересечения проведённой прямой с окружностью. Поскольку ADC = 90^o, то отрезок DB — высота прямоугольного треугольника ADC, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, DB² = AB ^. BC = ab, откуда DB = .

Построим на произвольной прямой отрезки AB и BC (B между A и C). На отрезке AC как на диаметре построим окружность. Через точку B проведём прямую, перпендикулярную AC. Пусть D — одна из точек пересечения проведённой прямой с окружностью. Поскольку ADC = 90^o, то отрезок DB — высота прямоугольного треугольника ADC, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, DB² = AB ^. BC = ab, откуда DB = .

Построим на произвольной прямой отрезки AB и BC (B между A и C). На отрезке AC как на диаметре построим окружность. Через точку B проведём прямую, перпендикулярную AC. Пусть D — одна из точек пересечения проведённой прямой с окружностью. Поскольку ADC = 90^o, то отрезок DB — высота прямоугольного треугольника ADC, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, DB² = AB ^. BC = ab, откуда DB = .

Источники и прецеденты использования