В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ω_a касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.

   Решение

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P=σ ST⁴ , где σ = 5,7· 10^-8  — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = · 109 м² , а излучаемая ею мощность P не менее 9,12· 1010 , определите наименьшую возможную температуру этой звезды.

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?

Решение

  Пусть A и B – независимые случайные величины, принимающие значения 1, 2, ..., 6 с равными вероятностями. Тогда математическое ожидание площади Асиного прямоугольника равно  EAB = EA·EB = (EA)²  (так как A и B независимы). Ожидание площади Васиного прямоугольника EA².
  Поскольку  0 < DA = EA² – (EA)²,  то  EA² > (EA)².
  Значит, в среднем площадь Васиного квадрата больше площади Асиного прямоугольника.

Ответ

У Васи.

Замечания

Можно было сослаться на неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным, а также честно вычислить EA² и (EA)².

Источники и прецеденты использования