В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов — n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.

_ _|_|_ _|_|_|_|_ _|_|_|_|_|_|_ |_|_|_|_|_|_|_| ..................... _ _ _ _ _ _ _ _ |_|_|_|_| ....... |_|_|_|_|

Рис. 1

Решение

На рисунке 2 показано, как фигуру, данную в условии задачи, разрезать на две части (квадраты в одной из частей перечёркнуты) и из этих частей сложить квадрат. Количество клеточек в квадрате, нарисованном на клетчатой бумаге, очевидно, равно квадрату количества клеток, расположенных вдоль его стороны.

Рис. 2

Таким образом, мы не только показали, что количество клеточек равно квадрату некоторого числа (что требовалось в условии задачи), но и нашли это число (n), то есть показали, что 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n² (n > 0).

Источники и прецеденты использования