Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

   Решение

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
  а)  k = 9;   б)  k = 8?

Решение

  а) Удалим числа 1, 2, ..., 9. Тогда сумма даже девяти наименьших из оставшихся чисел  (10 + 11 + ... + 18 = 126)  больше 100.

  б) Рассмотрим 12 пар чисел, дающих в сумме 25:  (1, 24),  (2, 23),  ...,  (12, 13).  После удаления 8 чисел останется не меньше четырёх нетронутых пар. Они и дадут в сумме 100.

Ответ

а) Необязательно;  б) обязательно.

Замечания

Баллы: 2 + 4

Источники и прецеденты использования