Версия для печати
Убрать все задачи

---

Указать индуктивные расширения для следующих функций: 
(а) среднее арифметическое последовательности вещественных чисел;
(б) число элементов последовательности целых чисел, равных её максимальному элементу; 
(в) второй по величине элемент последовательности целых чисел (тот, который будет вторым, если переставить члены в неубывающем порядке);
(г) максимальное число идущих подряд одинаковых элементов;
(д) максимальная длина монотонного (неубывающего или невозрастающего) участка из идущих подряд элементов в последовательности целых чисел;
(е) число групп из единиц, разделённых нулями (в последовательности нулей и единиц).

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Неравенства с углами ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

Подсказка

Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Постройте на диагонали AC как на диаметре окружность.

Решение

Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Построим на диагонали AC как на диаметре окружность. Тогда точки B и D лежат внутри этой окружности. Пусть прямая BD пересекает окружность в точках M и N. Тогда BD<MN, но MN не меньше AC, так как длина хорды окружности не превосходит диаметра этой окружности.

Замечания

Источники и прецеденты использования