Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию  2000(a + b) = c,  то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.

   Решение

а) Даны две точки A, B и прямая l. Постройте окружность, проходящую через точки A, B и касающуюся прямой l.
б) Даны две точки A и B и окружность S. Постройте окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S.

   Решение

Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.

Решение

Пусть $T'$ – точка пересечения $\omega_1$ с лучом $AC$. При гомотетии с центром $T'$, переводящей $C$ в $A$, лучи $CB$, $CD$ переходят в лучи $AD$, $AB$ соответственно. Поэтому окружность $\omega_1$ переходит в окружность $\omega'$, касающуюся этих лучей и $\omega_1$ в точке $T'$. Следовательно, $\omega'$ совпадает с $\omega_2$, а $T'$ – с $T$.

Источники и прецеденты использования